Einbettungssatz von Arens-Eells

Der Einbettungssatz von Arens-Eells (englisch : Arens-Eells embedding theorem) ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher im Übergangsfeld zwischen den mathematischen Teilgebieten Analysis, Funktionalanalysis und Topologie einzuordnen ist. Er geht zurück auf die beiden Mathematiker Richard Friederich Arens und James Eells und behandelt die Frage der Einbettbarkeit beliebiger metrischer Räume in komplexe normierte Räume und insbesondere in komplexe Banachräume.

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gemäß der Darstellung von Väth kann man den Beweis führen wie folgt:

Die Konstruktion der isometrischen Einbettung





ϕ





{\displaystyle \phi }


beginnt damit, dass





X




{\displaystyle X}


zunächst isometrisch zu einem (nicht notwendig abgeschlossenen) Teilraum eines komplexen Banachraums







B






{\displaystyle {\mathcal {B}}}


angelegt wird. In diesem wird dann der zu konstruierende normierte Vektorraum







V






{\displaystyle {\mathcal {V}}}


als






C





{\displaystyle \mathbb {C} }


-lineare Hülle











ϕ



(


X


)









C







{\displaystyle {\langle \phi (X)\rangle }_{\mathbb {C} }}


des Bildraums





ϕ



(


X


)




{\displaystyle \phi (X)}


definiert. Von diesem wird schließlich gezeigt, dass er darin bezüglich der von







B






{\displaystyle {\mathcal {B}}}


geerbten Normtopologie abgeschlossen ist.

Die Konstruktion von







B






{\displaystyle {\mathcal {B}}}


beginnt dabei mit dem Mengensystem





E










P





(


X


)





{\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}{(X)}}


aller nichtleeren endlichen Teilmengen von





X




{\displaystyle X}


.

Dann setzt man

als den Funktionenraum aller beschränkten komplexwertigen Funktionen





f


:






E









C




,



E






z


=


f


(


E


)







C





{\displaystyle f\colon \,{\mathcal {E}}\to \mathbb {C} \;,\;E\mapsto z=f(E)\in \mathbb {C} }


.







B






{\displaystyle {\mathcal {B}}}


ist versehen mit der Supremumsnorm

wobei im Körper






C





{\displaystyle \mathbb {C} }


wie stets der komplexe Betrag

zugrunde gelegt wird.

In





X




{\displaystyle X}







x



0








X




{\displaystyle x_{0}\in X}


fixiert.

Mit diesem definiert man unter Zuhilfenahme der zu der gegebenen Metrik





d




{\displaystyle d}


gehörenden Abstandsfunktion





D




{\displaystyle D}


eine Abbildung

indem man die Setzung

macht, wobei für





E








E





,


x






X




{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}\;,x\in X}


wegen der Endlichkeit von





E




{\displaystyle E}


stets

gilt.

Hier ist zu berücksichtigen, dass die Abstandsfunktion lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante





L


=


1




{\displaystyle L=1}


ist, also immer

und damit jedes






f



x






{\displaystyle f_{x}}


beschränkte Funktion.

Die auf diesem Wege gewonnene Abbildung





ϕ





{\displaystyle \phi }


erweist sich dann als Isometrie zwischen





X




{\displaystyle X}


und dem Bildraum





ϕ



(


X


)




{\displaystyle \phi (X)}


mit den gewünschten Eigenschaften.

Als direkte Folgerung der Herleitung des Satzes ergibt sich, dass jeder metrische Raum





X




{\displaystyle X}


eine metrische Vervollständigung








X


^








{\displaystyle {\hat {X}}}


besitzt. Diese kann konstruiert werden als abgeschlossene Hülle








X


^






:=





X


¯







B







{\displaystyle {\hat {X}}:={\overline {X}}^{\mathcal {B}}}


innerhalb







B






{\displaystyle {\mathcal {B}}}


.